ANALIZA I - septembar 2002. I tok

1. Dat je realan niz a_{n}: a_{0} , a_{n+1} = \frac{2a_{n}}{(n+2)a_{n}+1} za n = 0, 1, 2, ...

a) Dokazati da je

\frac{1}{n + \frac{q}{n}} ≤ a_{n} ≤ \frac{1}{n}

za neko q > 0 i n = 1, 2, ..

b) Ispitati konvergenciju realnog reda

∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n}

2. Ispitati funkciju \sqrt{x^{2} + 2x}e^{\frac{1}{x}} i nacrtati njen grafik.

3. Izračunati

∫_{0}^{1} \frac{arcsinx − x}{x^{3}} dx

4. Neka je f : [0, 1] → R neprekidna funkcija, diferencijabilna na (0,1), f(0) = f(1) = 0, 0 < α < β < 1 i f(α) − f(β) = 1. Dokazati da je |f′(ξ)| = 2 za neko 0 < ξ < 1.