Naći krug koji prolazi kroz dve date tačke i dodiruje dati krug

Neka su date dve tačke A i B i krug $O_1$ (sl. 9). Treba kroz A i B konstruisati krug koji dodiruje dati krug $O_1$.

1. Analiza: Za što jednostavnije rešenje ovog zadatka iskoristićemo pojmove potencije tačke u odnosu na krug i pojam radikalne ose za dva kruga. Shema rešenja bi izgledala:
   1. Za date tačke A i B konstruišemo pravu AB.
   2. Kroz središte P, duži AB, konstruišemo simetralu s. Na toj simetrali mora da se nalazi centar O traženog kruga, koji prolazi kroz tačke A i B.
   3. Na simetrali s uzimamo neku tačku $O^{\ast}$ za centar nekog pomoćnog proizvoljnog kruga koji prolazi kroz tačke A i B, ali pri tom preseca i dati krug $O_1$. Označimo tačke tog preseka sa C i D.
   4. Presečnu tačku pravih AB i CD označimo sa S.
   5. Potencija taćke S u odnosu na krug $O_1$ ima vrednost kvadrata odsečka tangente $ST_1$, povučene iz tačke S na krug $O_1$.
   6. Produženje poluprečnika $O_1T_1$ do preseka sa simetralom s, odre-đuje centar O traženog kruga poluprečnika $T_1O$. Prava $ST_1$ odre-đuje radikalnu osu krugova $O_1$ i O.
   7. Druga tangenta $ST_2$ na krug $O_1$, određuje tačku dodira $T_2$ datog kruga $O_1$ i drugog traženog kruga, koji prolazi kroz tačke A i B i pri dodiru obuhvata dati krug $O_1$. Centar tog drugog kruga se nalazi u preseku produženja poluprečnika $O_1T_2$ i simetrale s u tački $O'$.
   Ova konstrukcija je nezavisna od izbora pomoćnog kruga $O^{\ast}$.



2. Konstrukcija: Pošto su teorijski elementi rešenja ovog zadatka
   objašnjeni u analizi a) - g), potpuno elementarno izvođenje konstrukcije ne predstavlja teškoću³.

3. Dokaz: Tačnost navedene konstrukcije gotovo automatski sledi iz upo-trebljene metode pomoćnog kruga.

4. Diskusija: Pošto su osnovni geometrijski objekti u našem zadatku:
   1. dati krug $O_1$ datog poluprečnika R,
   2. dve tačke A i B kroz koje treba da prođe traženi krug,
   tada u diskusiji treba da se prouče moguće promene svakog od tih objekata i, pored toga
   3. da se ispita relativni položaj kruga prema tačkama A i B, a to znači i prema pravoj koja prolazi kroz ove dve tačke.
   Krug, sam po sebi, određuje se samo jednim svojim parametrom, tzv. parametrom veličine: poluprečnikom R, koji može uzimati sve pozitivne vrednosti od 0 do $+\infty$. Za prvu krajnju vrednost krug se pretvara u tačku i naš zadatak se degeneriše u prvi zadatak ovoga rada, kada traženi krug dodiruje tri date tačke. U drugom slučaju, kada $R\rightarrow +\infty$, krug se degeneriše u pravu, a naš zadatak se pretvara u zadatak o krugu koji prolazi kroz dve date tačke A i B i dodiruje pravu, koja je nastala od kruga, u ovom slučaju.
   Drugi geometrijski objekat čine dve tačke A i B. Kao parametar veličine tog geometrijskog objekta služi rastojanje između tih tačaka, AB=2b.1.6 Pri b = 0 tačke se poklapaju, a pri $b\rightarrow\infty$, jedna ili obe tačke odlaze u beskonačnost, a sredina - tačka P, može da ostane na mestu. Ako tačke A i B imaju određeni konačni položaj i prava AB ima određeni pravac, onda određeni položaj ima i simetrala tačaka A i B, tj. prava normalna na pravu AB, koja prolazi kroz tačku P. U teoriji krugova ta simetrala igra veoma važnu ulogu, jer centar svakog kruga koji prolazi kroz dve tačke A i B mora da se nalazi na simetrali duži određene tim tačkama.
   Pri proučavanju mogućih položaja tačaka A i B prema datom krugu $O_1$ mogu se razlikovati sledeći slučajevi⁴:
   1. Tačke A i B su van kruga $O_1$.
   2. Jedna od tačaka je na krugu, a druga van kruga.
   3. Jedna od tačaka je na krugu, a druga u krugu.
   4. Obe tačke su u krugu.

   Za proučavanje različitih položaja tačaka A i B prema datom krugu $O_1$, zgodno je uzeti u obzir pravu koja prolazi kroz tačke A i B. Ta prava može:

                              1. biti van kruga,
                              2. dodirivati krug,
                              3. seći krug.
   

   Diskusija svih mogućih slučajeva ne zadaje teškoće, ali zahteva veliku pažnju.